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無限選択の罠

今回はいい歳した大人(俺)が、若造にいいようにからかわれたお話です。
先日、付き合いのある東大生からこんな問題を出された。


ここに2つの封筒A、Bがある。
それぞれの封筒の中には、金額の書かれた紙が入っている。
金額は同じではなく1:2になっている。
どちらかひとつの封筒を選び、その紙に書かれた金額が貰えるゲームを行う。
但しどちらの封筒に高い金額が書かれた紙が入っているのかはわからない。

封筒Aを選ぶと、中には「10,000円」と書かれた紙が入っていた。
このまま10,000円を貰ってもいいし、逆に封筒Bの金額を選んでもいい。
但し封筒Bを選んだ場合は、10,000円の権利を失い、封筒Bの紙に書かれた金額しかもらえないとする。

あなたなら選び直しますか。
それとも10,000円を受け取りますか。


封筒と1万円

俺「ハハァ、期待値の問題だな」
東大生(以下「東」)「じゃあ、選び直しますね」
俺「ああ、選び直すよ」

封筒Aが10,000円ならば、封筒Bは20,000円か5,000円。
確率は1/2なので期待値12,500円。10,000円よりも高い。

ただ、こんな問題わざわざ出してくるのはおかしい。
続きがるかなと思ったら、案の定。

東「この問題、封筒Aの中身を見なくても行動は変わらないでしょうね?」
俺「どゆこと?」
東「封筒Aにどんな数字が書かれていても、封筒Bの期待値の方が高くなるということです」
ま、これはゲームと言っているので、書かれている金額はせいぜい10,000円としよう。
10億とか言われると選び直す気がなくなるからな。

東「封筒Aに100円と書かれていても、5,000円と書かれていても、封筒Bの期待値はそれぞれの1.25倍」
俺「そうだな」
東「ということは、封筒Aを選んだ後に、中身を見ても見なくても封筒Bを選び直すわけです」

あれ、なんだか雲行きが怪しくなってきたぞ。

俺「まあ、そういうことになるかな」
東「じゃあ封筒Bに選び直したとして、封筒Bを開ける前に、もう一度考えてみるんです。再度選び直すかどうか」
俺「……」
東「封筒Bにどんな金額が書かれているかわかりません。しかしこの瞬間、封筒Aの期待値は封筒Bの1.25倍でしょう?」
俺「……」
東「永久に封筒を選び直すことになりますね、フハハハハハハ、文系民が期待値なぞ使うのは100年早いわ!」

最後の「フハハハハハハ」以降は俺が勝手に加えただけだが、なんか頭がごしゃごしゃになってきた。
いいようにからかわれた気がするなあ。

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コメント

モンティ・ホール問題(2019/09/26の記事)に続く、確率の罠シリーズ第二弾ですね。
私も騙されました。

どこがおかしいのかをうまく説明できないですが、この封筒の設例は、そもそも期待値を算出しようとするのが間違っているのでしょうかね。

「いまからさいころを振ってどの目が出るか」のような場合には、どの目が出る確率も「同様に確からしい」ので期待値を計算することができますが、
この封筒の設例では「1万円&5000円」の組なのか「1万円&2万円」の組なのかが「同様に確からしい」わけではないので、期待値の計算をしてはならぬ(計算しても意味がない)、ということかしら?

この封筒の設例を改変して、「1万円&5000円」の組と「1万円&2万円」の組について「同様の確からしさ」を確保してみると・・・

・「1万円&5000円」の組①と「1万円&2万円」の組②を用意する。
・例えば、私がいずれかの組を選択して、一つの封筒を開けたら1万円が入っていた。
・さて、私は封筒を交換したほうがよいかどうか?

こういう局面でしたら、交換後の封筒の中身の期待値は12,500円となるといえそうな気がします。

No title

 全然関係ないですが、以前 下記のような問題を見たことがある

「5人の異性とお見合いをする。 順番はランダムに決められる。
で、一人ずつお見合いして即答しなくてはいけない。(保留はできない。
○か×か即答するってことね。) で、○なら結婚、×なら次の人とお見合い。ただし、5人目になったら問答無用その人が最低点でも必ず結婚しなくてはいけない」

(※もちろん数学の問題なので、異性の魅力が厳密に序列化できるとする。Aは80点 Bは70点・・・ A>B ってことね。A君の方がかっこいいけど、B君の方が金持ち、とか迷うことはない。)

で、 どのようなロジックで臨めば一番期待値の高い結婚ができるか

という問題だ。  

この答えだけは覚えている。

答えは「最初の一人は見送る。二人目以降は今までで一番よければ結婚する」だった。  直感的に納得できる回答だ。

 これって日常でもよくある。
例えば ガソリンを入れる。少しでもやすい値段で入れたい。 で最初の店は見送る。。。 ってな感じだ

※このロジックでA>B>C>D>E の5人のお見合いに臨めば、とりあえず 、 Eのくず野郎と結婚する羽目になるのは最初がAで 最後がEの場合のみ。

面白そうな予感

>答えは「最初の一人は見送る。二人目以降は今までで一番よければ結婚する」だった。

おお、これはいろいろな場面で応用できそう。
というか、これを使って何か面白い問題ができそう。

No title

甘えん坊将軍さんのおっしゃる通りです。

今止めれば10000円の賞金が貰えるが、サイコロを振って奇数が出たら2倍に、偶数が出たら半分になる、というゲームであれば、期待値は12500円。もう一度繰り返せば、期待値は15625円と、繰り返すたびに25%ずつ増加していきます。

一方で、2つの封筒にお金を入れた場合、もう一つの封筒に入っているお金は確定しているので(2倍か半分かは、確率的事象ではなく、確定的事象)、リターンと確率を掛け合わせて期待値を求めることは出来ません。

ハルビンさんのお話は似たような例を聞いた記憶がありますが、私の記憶では、「上位3名のうちのどれかと80%の確率で結婚する方法」として紹介されていて、「最初の3人はスルー」「4人目からは、今までで一番良ければ(つまり、最初に会った3人の中のベストよりも良ければということになります)、そこで決める」というものでした。

No title

書いたオラの責任もあると思い、計算してみました。
5の順列、(=120)
こんなの論理で考えるより書き出した方が早い。

A:1点 B:2点・・・ E:5点 としてエクセルに120個の順列を書く
「一人見送った場合」「二人見送った場合」「三人見送った場合」
で 期待値を計算しました。

結果は・・「一人見送った場合の期待値」=3.9
「二人見送った場合」=3.8
「三人見送った場合」=3.5

でした。 当然ながら、最初から1番目とか5番目に決めておくと期待値は (1+2+3+4+5)/5=3 になります。

手計算なんで間違っていたら教えてね

数字は左から
通し番号*1*2*3*4*5*一人見送った場合の相手*同じく二人*三人 
 


1 1 2 3 4 5 2 3 4
2 1 2 3 5 4 2 3 5
3 1 2 4 3 5 2 4 5
4 1 2 4 5 3 2 4 5
5 1 2 5 3 4 2 5 4
6 1 2 5 4 3 2 5 3
7 1 3 2 4 5 3 4 4
8 1 3 2 5 4 3 5 5
9 1 3 4 2 5 3 4 5
10 1 3 4 5 2 3 4 5
11 1 3 5 2 4 3 5 4
12 1 3 5 4 2 3 5 4
13 1 4 2 3 5 4 5 5
14 1 4 2 5 3 4 5 3
15 1 4 3 2 5 4 5 5
16 1 4 3 5 2 4 5 2
17 1 4 5 2 4 4 5 4
18 1 4 5 4 2 4 5 2
19 1 5 2 3 4 5 4 4
20 1 5 2 4 3 5 3 3
21 1 5 3 2 4 5 4 4
22 1 5 3 4 2 5 2 2
23 1 5 4 2 3 5 3 3
24 1 5 4 3 2 5 2 2
25 2 1 3 4 5 3 3 4
26 2 1 3 5 4 3 3 5
27 2 1 4 3 5 4 4 5
28 2 1 4 5 3 4 4 5
29 2 1 5 3 4 5 5 4
30 2 1 5 4 3 5 5 3
31 2 3 1 4 5 3 4 4
32 2 3 1 5 4 3 5 5
33 2 3 4 1 5 3 4 5
34 2 3 4 5 1 3 4 5
35 2 3 5 1 4 3 5 4
36 2 3 5 4 1 3 5 1
37 2 4 1 3 5 4 5 5
38 2 4 1 5 3 4 5 5
39 2 4 3 1 5 4 5 5
40 2 4 3 5 1 4 5 5
41 2 4 5 1 3 4 5 3
42 2 4 5 3 1 4 5 1
43 2 5 1 3 4 5 4 4
44 2 5 1 4 3 5 3 3
45 2 5 3 1 4 5 4 4
46 2 5 3 4 1 5 1 1
47 2 5 4 1 3 5 3 3
48 2 5 4 3 1 5 1 1
49 3 1 2 4 5 4 4 4
50 3 1 2 5 4 5 5 5
51 3 1 4 2 5 4 4 5
52 3 1 4 5 2 4 4 5
53 3 1 5 2 4 5 5 4
54 3 1 5 4 2 5 5 2
55 3 2 1 4 5 4 4 4
56 3 2 1 5 4 5 5 5
57 3 2 4 1 5 4 4 5
58 3 2 4 5 1 4 4 5
59 3 2 5 1 4 5 5 5
60 3 2 5 4 1 5 5 4
61 3 4 1 2 5 4 5 5
62 3 4 1 5 2 4 5 5
63 3 4 2 1 5 4 5 5
64 3 4 2 5 1 4 5 5
65 3 4 5 1 2 4 5 2
66 3 4 5 2 1 4 5 1
67 3 5 1 2 4 5 4 4
68 3 5 1 4 2 5 2 2
69 3 5 2 1 4 5 4 4
70 3 5 2 4 1 5 1 1
71 3 5 4 1 2 5 2 2
72 3 5 4 2 1 5 1 1
73 4 1 2 3 5 5 5 5
74 4 1 2 5 3 5 5 5
75 4 1 3 2 5 5 5 5
76 4 1 3 5 2 5 5 5
77 4 1 5 2 3 5 5 3
78 4 1 5 3 2 5 5 2
79 4 2 1 3 5 5 5 5
80 4 2 1 5 3 5 5 5
81 4 2 3 1 5 5 5 5
82 4 2 3 5 1 5 5 5
83 4 2 5 1 3 5 5 3
84 4 2 5 3 1 5 5 1
85 4 3 1 2 5 5 5 5
86 4 3 1 5 2 5 5 5
87 4 3 2 1 5 5 5 5
88 4 3 2 5 1 5 5 5
89 4 3 5 1 2 5 5 2
90 4 3 5 2 1 5 5 1
91 4 5 1 2 3 5 3 3
92 4 5 1 3 2 5 2 2
93 4 5 2 1 3 5 3 3
94 4 5 2 3 1 5 1 1
95 4 5 3 1 2 5 2 2
96 4 5 3 2 1 5 1 1
97 5 1 2 3 4 4 4 4
98 5 1 2 4 3 3 3 3
99 5 1 3 2 4 4 4 4
100 5 1 3 4 2 2 2 2
101 5 1 4 2 3 3 3 3
102 5 1 4 3 2 2 2 2
103 5 2 1 3 4 4 4 4
104 5 2 1 4 3 3 3 3
105 5 2 3 1 4 4 4 4
106 5 2 3 4 1 1 1 1
107 5 2 4 1 3 3 3 3
108 5 2 4 3 1 1 1 1
109 5 3 1 2 4 4 4 4
110 5 3 1 4 2 2 2 2
111 5 3 2 1 4 4 4 4
112 5 3 2 4 1 1 1 1
113 5 3 4 1 2 2 2 2
114 5 3 4 2 1 1 1 1
115 5 4 1 2 3 3 3 3
116 5 4 1 3 2 2 2 2
117 5 4 2 1 3 3 3 3
118 5 4 2 3 1 1 1 1
119 5 4 3 1 2 2 2 2
120 5 4 3 2 1 1 1 1
合計 468 456 416
期待値 3.9 3.8 3.466666667

確率的事象ではなく、確定的事象

>一方で、2つの封筒にお金を入れた場合、もう一つの封筒に入っているお金は確定しているので(2倍か半分かは、確率的事象ではなく、確定的事象)、リターンと確率を掛け合わせて期待値を求めることは出来ません。

はえ~~、なるほど。
その点で俺はやつに翻弄されたというワケか。

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ジャーナル・ギャップ

Author:ジャーナル・ギャップ
酒と野球とミステリーをこよなく愛するが、なんの因果か中学受験についていろいろ書いていくことに。

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