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モンティ・ホール問題という格好のテキスト

皆さんは「モンティ・ホール問題」というのをご存じだろうか?
確率や数学のゲームが好きな方なら、有名なエピソードである。
詳細はWikipediaに任せるとして、ここでは概略だけをご紹介します。

「プレーヤーの前に閉まった3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいる。プレーヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。
ここでプレーヤーは、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる。プレーヤーはドアを変更すべきだろうか?」


さて、皆さんならどうします?
初志貫徹、そのままのドアでいくか。あるいはもう一つのドアに変更するか?

モンティ・ホール問題


実はこれにはれっきとした最適解がある。その最適解を発表する前に、全米がこの問題でどんなダンスを踊ったかを見てみよう。

まずマリリン・ボス・サヴァント(凄いIQのコラムニスト)が「ドアを変更すれば確率は2倍になる」と自分のコラムに書いた。
これに対して大反響があった。読者からの「彼女の解答は間違っている」との約1万通の投書が殺到し、本問題は大議論に発展した。

いやあ凄いね。約1万通の投書だよ?全盛期のビートたけしのオールナイトニッポンだって、さすがにそこまでじゃなかった。
さらに輪をかけて凄いのが、1000人近い博士号保持者からのものも含まれていた、ということ。みんな暇なのかね?
博士号保持者たちはの大多数もまた、サヴァントの解答を「間違ってる」と断罪したそうな。

そのうえ、著名な数学者もこんなことをサヴァントに書いて寄越している。(Wikipediaより)

ジョージ・メイソン大学 ロバート・サッチス博士「プロの数学者として、一般大衆の数学的知識の低さを憂慮する。自らの間違いを認める事で現状が改善されます」
フロリダ大学 スコット・スミス博士「君は明らかなヘマをした(中略)世界最高の知能指数保有者である貴女が自ら数学的無知をこれ以上世間に広める愚行を直ちに止め、恥を知るように!」


すごい罵詈雑言。この言葉選びでもわかるように、この問題はアメリカ人を(あるいは高度な頭脳を持つアメリカ人を)感情的にさせる何かがあったようで、この話はジェンダー問題にまで発展した。

さて、現在ではこの「モンティ・ホール問題」の最適解はわかっている。

Q.プレーヤーはドアを変更すべきだろうか?
A.変更すべきである。ドアを変更すれば確率は2倍になる。


つまり、マリリン・ボス・サヴァントが正しかったわけだ。なぜそうなるのかは、みなさんの検索にお任せします。


今回「モンティ・ホール問題」を書いたのにはワケがある。
これが格好のテキストだからだ。それも確率や数学クイズのテキストというワケではない。
過ちを犯した時、人間はどうふるまうか、という意味でまたとないテキストなのだ。

たとえば『データは騙る』(ゲアリー・スミス著・川添節子訳)によると、ジョージ・メイソン大学の数学の教授は(前述のロバート・サッチス博士と同一人物かどうかは不明です)、次のようにサヴァントをこき下ろした。

しくじったね、教えてあげよう。一つのドアが外れだとわかれば、その情報は残りのドアが当たりである確率を半々にする。どちらかの確率が高くなる理由はない。数学者として、一般の人々が数学的にものを考えられないことについては憂慮している。あなたも自分の間違いを認め、今後は慎重に考えることで、啓蒙に力を貸してもらいたい。

高度な罵倒ですね。上から目線で「教えてあげよう」「憂慮している」、挙句に「啓蒙に力を貸してもらいたい」と、まるで主従関係前提な結び。
尤も言ってることが間違っていたので、すべては台無しですが。

但し彼は、自分が間違っていたと判明した後、こんな手紙をサヴァントに届けている。

自分の間違いを認め、甘んじて屈辱を受けたいと思う。罪滅ぼしとして、私宛ての非難の手紙にはすべて返事を書きたいと思っている。プロとしてお恥ずかしい限りだ。

素晴らしい。「私宛ての非難の手紙にはすべて返事を書きたい」というのがどんな罪滅ぼしなのかさっぱりわからないが(だってそんなの当然だろ?)、敗北を受け入れ、自分としっかり向き合っている。
ああ、俺もこうありたい!

だが中にはプロ数学者ポール・エルデシュのように、ゲームのルールを知らなかったから自分は間違えた、として逆にゲームのルールを教えなかった弟子を叱り飛ばす奴もいたらしい。
「ゲームのルールを知らなかった」のは自らの失策である。というか、どうせそんなの間違えた言い訳に過ぎないのだろうが。
そういや、ロバート・サッチス博士とスコット・スミス博士は、ちゃんとごめんなさいできたかな?

それにしてもこの番組、外れたら景品の新車はともかく、ヤギはもらえなかったのかねえ。メェ~

そうそう、近々「モンティ・ホール問題」を使った中学受験生用の思考力問題を作ろうと思っていたので、まあ当てにしないで待っていてください。

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コメント

このブログで学んだSociety 5.0や新井紀子先生のAI本に触発されてこの春に読んだ『完全独習 ベイズ統計学入門』(小島寛之著、ダイヤモンド社)に、このモンティ・ホール問題と3囚人問題(wikiご参照)が紹介されていました。
事前確率(3分の1)が、その後の情報入力(ハズレ扉1つの開示)によって、事後確率(3分の2)に変わる。
こういった情報入力による確率変動計算(予測精度向上)は、AIはお手のものですね。

自分の子には「ちゃんとごめんなさいを言いなさい」と諭すものの、大人の自分自身が常にそれを実践するのは難しかったりしますね。親の背を見て子は育つというから、自戒せねば。

>それにしてもこの番組、外れたら景品の新車はともかく、ヤギはもらえなかったのかねえ。メェ~

外れ景品のヤギは、紆余曲折を経て日本の東京都練馬区にある進学校に寄贈され、モンティ・ホール問題の教訓である「先入観にとらわれない自調自考の精神」のシンボルとして、今も大切に飼われているとかいないとか。

No title

 これ、オラが無知なのか知りませんでした。

 よく読んで見て、「2倍になる理由」も「ならない理由」も納得できました。
  両方納得できたけど、オラ自身はどうも腑に落ちない。  まあ 頭が悪い人間というのは イコール 頭が硬いのだ。

 有名な 伸びるゴムの上を虫が這う問題も、オラは最後まで納得できなかった。

>伸びるゴムの上を虫が這う問題

この問題、私は知りませんでした。
ネットで調べてみましたが、感覚的にはまったく理解できないです。

1m/hの速さで伸びる長さ1mのゴムの一端から他端に向けて虫が1m/hで這い始める。
感覚的には虫は永遠に他端にたどり着けない気がしますが、
約2.2489 × 10^427年で他端にたどり着けるという。

???

No title

 あ、 よかった 理解できないのはオラだけではなかった。

 この問題をもし誰かが出したら、 少し考えるふりをして 1分後くらいに「ふふふ。調和級数だね。 発散するかな 収束するかな。 俺は帰るね」と言ってその場を去るのがカッコええ。
 
 現実にそう言った奴がオラの友人にいる。
 多分そいつは解を知っていたんだと思う。
(その場で考えたとは思えない)

※詳細は ウイキペディア 「ゴムロープの上のアリ」で検索してください。

No title

>伸びるゴムの上を虫が這う問題

一応物理の研究者なんだけど、知らなかった・・・
ウィキで離散数学的な解、というところを読みました。

「調和級数の部分和」っていわれるとビビるけど、log(x)は単調増加関数だから、って言えば分かりやすいと思います。

1/xを積分すればlog(x)になる、ということは高校で習います。
1/nの級数和を1/xの積分と思えばだいたいlog(n)になります。
数式で書くと
1+1/2+1/3+...+1/n = integral_1^n 1/x dx = log(n)
のような感じです。
nを大きくすればlog(n)は無限大になるので、1+1/2+1/3+...+1/n...は発散します。

と、ここまで書いて、ひょっとして勘違いしてる部分があるかもしれません。
だれか賢い人間違いがあれば指摘してください。

No title

あ、あと

>1m/hの速さで伸びる長さ1mのゴムの一端から他端に向けて虫が1m/hで這い始める。
>感覚的には虫は永遠に他端にたどり着けない気がしますが、
>約2.2489 × 10^427年で他端にたどり着けるという。

はい、僕も、たどり着けるわけないだろ、と思いました。
ウィキを読むまでは・・・

クロコマさんの解説とwikiのおかげで、頭ではなんとなく理解できたような気がしなくもないですが、腹に落ちた感じが得られず・・・

調和級数の部分和が無限大に発散するのはいいとして、ゴムもどんどん伸びるのだから、無限大同士の大きさ比較の問題が生じたりしないのかしら。カントールの対角線論法の話みたいな・・・
(こんなこと言うと、問題を正しく理解できていないことがバレちゃう・・・

※調和級数は絶対距離でなく相対距離を指している(?)から、ゴム長との比較の問題は生じないのか??

No title

 オラ この問題 本気で「たどり着けない」証明を 考えました。 最初は結構簡単にできると思った。  断続的に1週間くらいずっと考えた。

 で、証明できなかった。 (当たり前だ)
 
 逆説的ですが、「たどり着けないことを証明しよう」 と試みると その難しさに気づき 「もしかしてたどり着くのか?」と納得できます。

No title

>そういや、ロバート・サッチス博士とスコット・スミス博士は、ちゃんとごめんなさいできたかな?

おっしゃる通り。
でも、こういうリスクを背負ってるからこそ、上から目線で言い切る人ってカッコ良く見えるんですよね・・・

ヤギの来歴

>外れ景品のヤギは、紆余曲折を経て日本の東京都練馬区にある進学校に寄贈され、モンティ・ホール問題の教訓である「先入観にとらわれない自調自考の精神」のシンボルとして、今も大切に飼われているとかいないとか。

あのヤギの来歴にそんな秘密があったとは!!

でもあいつ、時々凶暴だよな。メリケンの血がそうさせてるのかな。

約2.2489 × 10^427年とかマジ無理

>はい、僕も、たどり着けるわけないだろ、と思いました。
>ウィキを読むまでは・・・

ウィキを読んでも、たどり着けない感じしかしない俺……
しかしハンパないゴムロープである。そして容赦ないアリの根性である。

発散と破産

>この問題をもし誰かが出したら、 少し考えるふりをして 1分後くらいに「ふふふ。調和級数だね。 発散するかな 収束するかな。 俺は帰るね」と言ってその場を去るのがカッコええ。

確かにカッコいい!!
俺だったらそいつにすがりついて、飯ぐらい奢るからおせーて! なんなら飲み代も持つよ! ぐらいのカッコ悪さを発散しそうです。

No title

アリの位置をゴムの長さの何割のところにいるか、という風に考えます。
伸びつつあるゴムの長さを1とした場合、アリの移動距離は時刻とともにどのようになるか、を考えます。
ウィキの定義を使えば、1秒後にalpha/(c+v)、2秒後にalpha/(c+v)+alpha/(c+2v)、・・・となります。
時間とともにアリの進む距離は短くなっていきます。
進む距離を足し合わせたとき、1より大きくなれば他端にたどり着くし、1より小さければたどり着きません。
そこのところを数学的に計算すると、1より大きくなる、ということです。
上の計算をするとき、c=0としても大勢に影響はないので、1/v+1/(2v)+...を考えればよいですが、これはつまり1+1/2+1/3+...を考えることと同じです。
つまり、y=1/xの関数を、x>1の領域で積分することと同じです。

xが大きくなるにつれてyは0に漸近していくので、和をとった時、つまりy=1/xとy=0で囲まれる面積は、直観的にはある値に漸近していくようにも感じられます。
その場合はアリは他端に到達しません。
一方、和が単調増加し続ける場合は、アリは他端に到達します。
積分して面積を計算するとlog(x)となりxの増大とともに発散するので、アリは他端に到達する、という結果になります。

y=1/xとy=0で囲まれる面積が、xを無限大までもっていったときに発散するか否か、というのが直観的には分かりにくい、というところが、直観で理解しずらいということにつながるのだと思います。
実際、y=1/(x^2)はy=1/xと似たような形をしていますが、y=1/(x^2)とy=0で囲まれる面積は、xを無限大にした場合に1となり発散しません。

いかがでしょうか?

クロコマさん、どうもありがとうございました。
私の頭の中のボンヤリとしていたイメージが、クロコマさんの解説のおかげで明瞭な形を成しました。
y=1/xとy=0で囲まれる面積がxを無限大までもっていったときに発散するか否かという点が、直観とのズレの源であろうというご指摘も含めて。

今日からは、アリに向かって「無駄だからやめておけ」とは言わず、「いつかゴールに着くから頑張りな」と声をかけます(笑)。

No title

甘えん坊将軍さん、

伝わったようで何よりです。
1/xの和を考える、ということは、ゴムの伸びが一定速度である、ということに対応します。
一方、1/x^2 (x二乗分の1)の和を考えることは、ゴムの伸びが一定加速度である、ということに対応します。
ですので、一定加速度で伸びるゴムの上をアリが進む場合は、他端にはたどり着けない、ということになると思います。

No title

関係ないですが、昨日、割と良い学術誌に論文掲載が決まったので、朝早く目が覚めてしまいました。
最初に投稿したのは去年の8月くらいだったので、1年以上かかりました・・・
しばらく幸せな気分に浸りたいところですが、なかなか状況がそれを許してくれなさそうです。
長い夏休みはすでに使ってしまったので。

>一定加速度で伸びるゴムの上をアリが進む場合は、他端にはたどり着けない、ということになると思います。

昨日ネットで上記のことを読んだものの、その計算過程が理解できなかったのですが、クロコマさんの先の投稿の「実際、y=1/(x^2)はy=1/xと似たような形をしていますが、y=1/(x^2)とy=0で囲まれる面積は、xを無限大にした場合に1となり発散しません」というところを読んで、このことだなとピンときました。
(この点でも、クロコマさんの解説は、私にとって美しかったです)

何はともあれ、論文掲載決定おめでとうございます!
消費税増税前に(笑)、盛大にお祝いをしてくださいませ。

アリのままには生きられないアリ

 働きアリの寿命は4ヶ月~1年・・・お年寄は光の速さで走らなきゃ・・・私も今日から繁忙期手当てが付くので老体にムチ打って頑張らねばなりません(^^;

ななし様:
 お久しぶりでござきます。中学入試の国語は、変な問題も多いですが中学以降はごくごく普通の問題になり、雑学的な知識と基本的なテクニックで点が取れるようになると思います。悩まされるのもあと数ヶ月、ファイトですd=(^o^)=b

いつも皆さんのコメントを楽しく拝見しています。

数学的でも論理的でもなく、感覚的に、モンティの方は、変更するってことは、2つを選んだのと同じだから、確率が上がるだろう、アリの方は、最初は無理だと思ったのですが、すでに歩いた分も伸びていると気がついたらたどり着けそうと思いましたが、間違っていますか?

>すでに歩いた分も伸びていると気がついたらたどり着けそうと思いましたが、間違っていますか?

私は間違っていないと思います。
私もはじめは他端だけが伸びていくのだと勘違いしていたのですが、ゴム全体が一様に伸びるということですよね。宇宙の膨張みたいに。

この観点から見たときに、クロコマさんの先の投稿の冒頭の、

>アリの位置をゴムの長さの何割のところにいるか、という風に考えます。

という設定が効いていて、これまた美しいと感じた次第です。

No title

Geminiさま

ありがとうございます。
娘が国語できないのなんでバレたんでしょ。
ストレス溜まりますが、あと少し頑張ります!

話が分かりやすい

>アリの位置をゴムの長さの何割のところにいるか、という風に考えます。

これは至言。これで理解できたよ。さすが物理の先生だ。(微妙な上から目線

このブログの論客には元職現職含め先生・講師がたくさんいるから、話が分かりやすくていいな。

出版か死か

しかしそれでも、納得できない俺がいる。………

論文掲載おめでとう!
出版か死か、という土壌だからな、君のところは。

No title

甘えん坊将軍さん、JGさん、
おほめに預かり光栄です。
ただ、私の書いたのは、ウィキに紹介されていたマーチン・ガードナーの方法を少し簡単に説明しただけです・・・
さらに、さっきウィキを確認すると、”感覚的な解”のところに私の説明とほぼ同じな説明が・・・
こちらは私は読んでいませんでしたが。

もしも私の説明にオリジナリティが少しあるとするなら、1/xの積分と1/x^2の積分の比較について触れた部分くらいでしょうか・・・

ちなみに、秘書さんにも説明を試みましたが失敗しました。
かわいらしくて私は大好きな秘書さんなのですが、1/xの積分が対数関数になることとか、そもそも対数関数とは何か、とかに立ち戻って説明することができませんでした。

「ゴムロープの上のアリ」を日本国民全体への教訓は何か、ということになると、たとえば「人間の直観力ほどあてにならないものはない」ということでしょうか?
あるいは、数学者ならそれに「だから数学は大切だよ」を付け加えるのかな?
おそらく多くの人にとって積分とか対数関数とかどうでもよいことなので、一般的なメッセージとは何か、というのを考えるのは割と難しいです。

No title

JGさん

>論文掲載おめでとう!
>出版か死か、という土壌だからな、君のところは。

ありがとう。
出版か死か、というほどでもないけど、まあうれしいです。

その論文のプレスリリース文面を考えるとき、妻や秘書さんに文面を確認してもらったのですが、いろいろ苦労しました。
「象を知らない人に象の絵を見せずに説明をしても伝わらない」という星の王子様のたとえを用いてダメ出しされました。
どの分野であれ、一般の人に説明することは、割と難しいです。

群盲評象

>「象を知らない人に象の絵を見せずに説明をしても伝わらない」という星の王子様のたとえを用いてダメ出しされました。

インドの寓話「群盲象を評す(群盲評象)」を思い浮かべました。
星の王子様のそのたとえ話とは少し意味合いが異なりますけれど。余談です。

No title

>インドの寓話「群盲象を評す(群盲評象)」を思い浮かべました。

それは、むしろ普通の研究の世界に通じると思います。

実験で何かを確かめるときに、人間は神の目は持っていないので、どうしても間接的に確かめる、ということになります。
素粒子なんて目で見えるはずないのに、目で見たようにいろいろ説明されてるけど、いろいろな間接的な実験からの結論です(と思います)。
群盲が割と正確に正しく象を評しているのだろうと思います。

いろいろな実験手法があって、どれもこれも間接的ではあるのですが、それぞれ特徴があって「自分の手法がより直接的」と思ってみんな実験してると思います。
学部生に自分の研究手法を説明するさいに、「ほかの人たちは女性を服の上から観察するようなまだろっこしい方法で実験してるんだけど、私のは女性の服を脱がせて直接的に観察できる素晴らしい方法なんだよ」というような説明をする先生がいらっしゃいました。
既に退官されましたが、今それをしたら、多分セクハラですね。

高次元のデータを考えるとき、二次元に切り出したデータを目で見ていろいろ考えます。
3次元世界に住んでいるので、4次元以上のことは想像できないし、3次元のデータでさえなかなか想像しずらいです。
2次元か1次元に落として考えるのが基本です。

秘書秘密秘戯

>ちなみに、秘書さんにも説明を試みましたが失敗しました。

秘書さんには対数関数などというものよりは、「感」数をもっとだね、あ、こら、何をする、むぐぐ……


ところで今日長男坊に説明してもらって、ようやくなんとなくわかりかけてきました。
あいつ、説明下手なんだよなあ…

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ジャーナル・ギャップ

Author:ジャーナル・ギャップ
酒と野球とミステリーをこよなく愛するが、なんの因果か中学受験についていろいろ書いていくことに。

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